/lsquares.texi/1.1/Mon Feb 27 22:09:17 2006//

Definicedilhaões para lsquares
==============================

 -- Variável global: DETCOEF

     Essa variável é usada pelas funcedilhaões lsquares e plsquares para armazenar o Coeficiente de Determinacedilhaão que mede o melhor ajuste. Esse intervalo vai de 0 (nenhuma correlacedilhaão) a 1 (correlacedilhaão exacta).

     Quando plsquares for chamada com uma lista de variáveis independentes, DETCOEF é escolhida para uma lista de Coeficientes de Determinacedilhaão. Veja plsquares para detalhes.

     Veja também lsquares.

 -- Funcedilhaão: lsquares (MAT,VARLIST,EQUACEDILHAÃO,PARAMLIST)
 -- Funcedilhaão: lsquares (MAT,VARLIST,EQUACEDILHAÃO,PARAMLIST,ESPERADOSLIST)
     Ajuste múltiplo de equacedilhaões não lineares de uma tabela de dados pelo método dos "mínimos quadrados". MAT é uma matriz contendo os dados, VARLIST é uma lista de nomes de variáveis (um para cada coluna de MAT), EQUACEDILHAÃO é a equacedilhaão a ser ajustada (essa equacedilhaão deve estar na forma: depvar=f(indepvari,..., paramj,...), g(depvar)=f(indepvari,..., paramj,...) ou na forma g(depvar, paramk,...)=f(indepvari,..., paramj,...)), PARAMLIST é a lista de parâmetros para obter, e ESPERADOSLIST é uma lista opcional de aproximacedilhaões iniciais para os parâmetros; quando esse último argumento estiver presente, mnewton é usado em lugar de solve com o objectivo de pegar os parâmetros.

     A equacedilhaão pode ser completamente não linear com relacedilhaão às variáveis independentes e à variável dependente. Com o objectivo de usar solve(), as equacedilhaões devem ser lineares ou polinomiais com relacedilhaão aos parâmetros. Equacedilhaões como y=a*b^x+c podem ser ajustadas para [a,b,c] com solve se os valores de x forem inteiros positivos pequenos e existirem poucos dados (veja o exemplo em lsquares.dem). mnewton permite ajustar uma equacedilhaão não linear com relacedilhaão aos parâmetros, mas um bom conjunto de aproximacedilhaões iniciais deve ser fornecido.

     Se possível, a equacedilhaão ajustada é retornada. Se existir mais de uma solucedilhaão, uma lista de equacedilhaões é retornada. O Coeficiente de Determinacedilhaão é mostrado para informar sobre o melhor ajuste, de 0 (nenhuma correlacedilhaão) a 1 (correlacedilhaão exacta). Esse valor é também armazenado na variável global DETCOEF.

     Exemplos usando solve:

          (%i1) load("lsquares")$

          (%i2) lsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
                         [x,y,z], z=a*x*y+b*x+c*y+d, [a,b,c,d]);
                Determination Coefficient = 1.0
                              x y + 23 y - 29 x - 19
          (%o2)           z = ----------------------
                                        6
          (%i3) lsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
                         [n,p], p=a4*n^4+a3*n^3+a2*n^2+a1*n+a0,
                   [a0,a1,a2,a3,a4]);
                Determination Coefficient = 1.0
                               4       3      2
                            3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
          (%o3)         p = -------------------------
                                        6
          (%i4) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25]),
                         [x,y], (y+c)^2=a*x+b, [a,b,c]);
                Determination Coefficient = 1.0
          (%o4) [y = 28 - sqrt(657 - 216 x),
                                          y = sqrt(657 - 216 x) + 28]
          (%i5) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25],[4,49]),
                         [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c]);
                Determination Coefficient = 1.0
                                        x
          (%o5)                  y = 3 2  + 1

     Exemplos usando mnewton:

          (%i6) load("lsquares")$

          (%i7) lsquares(matrix([1.1,7.1],[2.1,13.1],[3.1,25.1],[4.1,49.1]),
                         [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c], [5,5,5]);
                                                       x
          (%o7) y = 2.799098974610482 1.999999999999991
                                                  + 1.099999999999874
          (%i8) lsquares(matrix([1.1,4.1],[4.1,7.1],[9.1,10.1],[16.1,13.1]),
                         [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], [4,1,2]);
                                       .4878659755898127
          (%o8) y = 3.177315891123101 x
                                                  + .7723843491402264
          (%i9) lsquares(matrix([0,2,4],[3,3,5],[8,6,6]),
                        [m,n,y], y=(A*m+B*n)^(1/3)+C, [A,B,C], [3,3,3]);
                                                               1/3
          (%o9) y = (3.999999999999862 n + 4.999999999999359 m)
                                                   + 2.00000000000012

     Para usar essa funcedilhaão escreva primeiro load("lsquares"). Veja também DETCOEF e mnewton.

 -- Funcedilhaão: plsquares (MAT,VARLIST,DEPVARS)
 -- Funcedilhaão: plsquares (MAT,VARLIST,DEPVARS,MAXEXPON)
 -- Funcedilhaão: plsquares (MAT,VARLIST,DEPVARS,MAXEXPON,MAXDEGREE)
     Ajuste de polinómios de várias variáveis de uma tabela de dados pelo método dos "mínimos quadrados". MAT é uma matriz contendo os dados, VARLIST é uma lista de nomes de variáveis (um nome para cada coluna de Mat, mas use "-" em lugar de nomes de variáveis para colunas de Mat), DEPVARS é o nome de uma variável dependente ou uma lista com um ou mais nomes de variáveis dependentes (cujos nomes podem estar em VARLIST), MAXEXPON é o expoente máximo opcional para cada variável independente (1 por padrão), e MAXDEGREE é o argumento opcional grau máximo do polinómio (MAXEXPON por padrão); note que a soma dos expoentes de cada termo deve ser menor ou igual a MAXDEGREE, e se maxdgree = 0 então nenhum limite é aplicado.

     Se DEPVARS é o nome de uma variável dependente (fora de uma lista), plsquares retorna o polinómio ajustado. Se DEPVARS for uma lista de uma ou mais variáveis dependentes, plsquares retorna uma lista com o(s) polinómio(s) ajustado(s). Os Coeficientes de Determinacedilhaão são mostrados com o objectivo de informar sobre o melhor do ajuste, cujo intervalo vai de 0 (nenhuma correlacedilhaão) a 1 (correlacedilhaão exacta). Esses valores são também armazenados na variável global DETCOEF (uma lista se DEPVARS for tambńuma lista).

     Um simples exemplo de ajuste linear de várias variáveis:

          (%i1) load("plsquares")$

          (%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
                          [x,y,z],z);
               Determination Coefficient for z = .9897039897039897
                                 11 y - 9 x - 14
          (%o2)              z = ---------------
                                        3

     O mesmo exemplo sem restricedilhaões de grau:

          (%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
                          [x,y,z],z,1,0);
               Determination Coefficient for z = 1.0
                              x y + 23 y - 29 x - 19
          (%o3)           z = ----------------------
                                        6

     Quantas diagonais possui um polígono de N lados? Que grau polinomial deverá ser usado?

          (%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),
                          [N,diagonais],diagonais,5);
               Determination Coefficient for diagonais = 1.0
                                          2
                                         N  - 3 N
          (%o4)              diagonais = --------
                                            2
          (%i5) ev(%, N=9);   /* Testando para um polígono de 9 lados - o eneágono */
          (%o5)                 diagonals = 27

     De quantas formas dispomos para colocar  duas raínhas sem que elas estejam ameacedilhaadas num tabuleiro de xadrez n x n ?

          (%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
                          [n,posicoes],[posicoes],4);
               Determination Coefficient for [posicoes] = [1.0]
                                   4       3      2
                                3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
          (%o6)    [posicoes  = -------------------------]
                                            6
          (%i7) ev(%[1], n=8); /* Testando para um tabuleiro de (8 x 8) */
          (%o7)                posicoes = 1288

     Um exemplo com seis variáveis dependentes:

          (%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],
                            [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$
          (%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],
                               [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);
                Determination Coefficient for
          [_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =
          [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
          (%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,
          _Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,
          _Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]

     Para usar essa funcedilhaão escreva primeiramente load("lsquares").