Introducedilhaão a Equacedilhaões Diferenciais
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Essa secedilhaão descreve as funcedilhaões disponíves no Maxima para obter solucedilhaões analíticas para alguns tipos específicos de equacedilhaões diferencias de primeira ordem e de equacedilhaões diferencias de segunda ordem. Para obter uma solucedilhaão numérica para um sistema de equacedilhaões diferenciais, veja o pacote adicional dynamics. Para representacedilhaões gráficas em espacedilhao de fase, veja o pacote adicional plotdf.

Funcedilhaões e Variáveis Definidas para Equacedilhaões Diferenciais
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 -- Funcedilhaão: bc2 (SOLUCEDILHAÃO, XVAL1, YVAL1, XVAL2, YVAL2)
     Resolve o problema do valor limite para equacedilhaões diferenciais de segunda ordem. Aqui: SOLUCEDILHAÃO é uma solucedilhaão geral para a equacedilhaão, como encontrado por ode2, XVAL1 especifica o valor da variável independente em um primeiro ponto, na forma X = X1, e YVAL1 fornece o valor da variável dependente naquele ponto, na forma Y = Y1. As expressões XVAL2 e YVAL2 fornecem os valores para essas variáveis em um segundo ponto, usando a mesma forma.

     Veja ode2 para um exemplo de sua utilizacedilhaão.

 -- Funcedilhaão: desolve (EQN, X)
 -- Funcedilhaão: desolve ([EQN_1, ..., EQN_N], [X_1, ..., X_N])
     A Funcedilhaão dsolve resolve sistema de equacedilhaões diferenciais lineares ordinárias usando a transformada de Laplace.  Aqui as EQN's são equacedilhaões diferenciais nas variáveis dependentes X_1, ..., X_N.  A dependência funcional de X_1, ..., X_N com relacedilhaão à variável independente, por exemplo X, deve ser explicitamente indicada nas variáveis e em suas derivadas. Por exemplo, isso pode não ser caminho correto para definir duas equacedilhaões:

          eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
          eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);

     O caminho correto pode ser:

          eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
          eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);

     A chamada à funcedilhaão desolve pode então ser

          desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);

     Se condicedilhaões iniciais em x=0 forem conhecidas, elas podem ser fornecidas antes chamando desolve através de atvalue.

          (%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
                           d           d
          (%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
                           dx          dx
          (%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
                            2
                           d            d
          (%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
                             2          dx
                           dx
          (%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
          (%o3)                           a
          (%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
          (%o4)                           1
          (%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
                            x
          (%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) =

                                                          x
                                             cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
          (%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
                       x       x      x                x
          (%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]

     Se desolve não pode obter uma solucedilhaão, retorna false.

 -- Funcedilhaão: ic1 (SOLUCEDILHAÃO, XVAL, YVAL)
     Resolve problemas de valor inicial para equacedilhaões diferenciais de primeira ordem. Aqui SOLUCEDILHAÃO é uma solucedilhaão geral para a equacedilhaão, como encontrado por ode2, XVAL fornece um valor inicial para a variável independente na forma X = X0, e YVAL fornece o valor inicial para a variável dependente na forma Y = Y0.

     Veja ode2 para um exemplo de sua utilizacedilhaão.

 -- Funcedilhaão: ic2 (SOLUCEDILHAÃO, XVAL, YVAL, DVAL)
     Resolve problemas de valor inicial para equacedilhaões diferenciais de segunda ordem. Aqui SOLUCEDILHAÃO é uma solucedilhaão geral para a equacedilhaão, como encontrada por ode2, XVAL fornece o valor inicial para a variável independente na forma X = X0, YVAL fornece o valor inicial da veriável dependente na forma Y = Y0, e DVAL fornece o valor inicial para a primeira derivada da variável dependente com relacedilhaão à variável independente, na forma diff(Y,X) = DY0 (diff não precisa receber apóstrofo para evitar avaliacedilhaão).

     Veja ode2 para um exemplo de seu uso.

 -- Funcedilhaão: ode2 (EQN, DVAR, IVAR)
     A funcedilhaão ode2 resolve uma equacedilhaão diferencial ordinária (EDO) de primeira ou de segunda ordem. ode2 usa três argumentos: uma EDO fornecida por EQN, a variável dependente DVAR, e a variável independente IVAR. Quando ode2 encontra uma solucedilhaão, ode2 retorna ou uma solucedilhaão explícita ou uma sulucedilhaão implícita para a variável dependente. %c é usado para representar a constante de integracedilhaão no caso de equacedilhaões de primeira ordem, e %k1 e %k2 as constantes para equacedilhaões de segunda ordem. A dependência da variável dependente com relacedilhaão à variável independente não tem que ser escrita explicitamente, como no caso de desolve, mas a variável independente deve sempre ser fornecida como o terceiro argumento.

     Se ode2 não conseguir obter uma solucedilhaão por qualquer razaão, ode2 retorna false, após talvez imprimir uma mensagem de erro. Os métodos implementados para equacedilhaões de primeira ordem na seqüência em que eles foram testados são: linear, separável, exato - talvez requerendo um fator de integracedilhaão, homogêneo, equacedilhaão de Bernoulli, e um método homogêneo generalizado. Os tipos de equacedilhaõe de segunda ordem que podem ser resolvidos são: coeficientes constantes, exato, linear homogêneo com coeficientes não constantes que podem ser transformados em coeficientes constantes, o tipo de equacedilhaão de Euler também chamado de equacedilhaão equi-dimensional, equacedilhaões resolvíveis pelo método de variacedilhaão de parâmetros, e equacedilhaões as quais são livres ou da variável independente ou da dependente de modo que elas possam ser reduzidas a duas equacedilhaões lineares de primeira ordem para serem resolvidas seqüêncialmente.

     Na resolucedilhaão de EDO's pelo Maxima, muitas variáveis são escolhidas puramente para propósitos informativos: método denota o método de solucedilhaão usado (e.g., linear), intfactor denota qualquer fator de integracedilhaão usado, odeindex denota o índice para o método de Bernoulli ou para o método homogêneo generalizado, e yp denota a solucedilhaão particular para a técnica de variacedilhaão de parâmetros.

     Com o objetivo de resolver poblemas de valor inicial (PVI) as funcedilhaões ic1 e ic2 estão disponíveis para equacedilhaões de primeira e de segunda ordem, e para resolver problemas do valor de segunda ordem associado (BVP em inglês) a funcedilhaão bc2 pode ser usada.

     Exemplo:

          (%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
                                2 dy           sin(x)
          (%o1)                x  -- + 3 x y = ------
                                  dx             x
          (%i2) ode2(%,y,x);
                                       %c - cos(x)
          (%o2)                    y = -----------
                                            3
                                           x
          (%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
                                        cos(x) + 1
          (%o3)                   y = - ----------
                                             3
                                            x
          (%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
                                   2
                                  d y      dy 3
          (%o4)                   --- + y (--)  = 0
                                    2      dx
                                  dx
          (%i5) ode2(%,y,x);
                                3
                               y  + 6 %k1 y
          (%o5)                ------------ = x + %k2
                                    6
          (%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
                                       3
                                    2 y  - 3 y
          (%o6)                   - ---------- = x
                                        6
          (%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
                                   3
                                  y  - 10 y       3
          (%o7)                   --------- = x - -
                                      6           2