Introducedilhaão a Integracedilhaão
===================================

Maxima tem muitas rotinas para manusear integracedilhaão. A funcedilhaão integrate faz uso de muitas dessas.  Exite também o pacote antid, que manuseia uma funcedilhaão não especificada (e suas derivadas, certamente).  Para usos numericos, existe um conjunto de integradores adaptativos de QUADPACK, a saber quad_qag, quad_qags, etc., os quais são descritos sob o tópico QUADPACK. Funcedilhaões hipergeométricas estão sendo trabalhadas, veja specint para detalhes. Geralmente falando, Maxima somente manuseia integrais que são integráveis em termos de "funcedilhaões elementares" (funcedilhaões racionais, trigonometricas, logarítmicas, exponenciais, radicais, etc.) e umas poucas extensões (funcedilhaão de erro, dilogarithm).  Isso não manuseia integrais em termos de funcedilhaões desconhecidas tais como g(x) e h(x).

Funcedilhaões e Variáveis Definidas para Integracedilhaão
=========================================================

 -- Funcedilhaão: changevar (EXPR, F(X,Y), Y, X)
     Faz a mudancedilhaa de variável dada por F(X,Y) = 0 em todas as integrais que ocorrem em EXPR com integracedilhaão em relacedilhaão a X. A nova variável é Y.

          (%i1) assume(a > 0)$
          (%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
                                4
                               /
                               [    sqrt(a) sqrt(y)
          (%o2)                I  %e                dy
                               ]
                               /
                                0
          (%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
                                0
                               /
                               [                abs(z)
                             2 I            z %e       dz
                               ]
                               /
                                - 2 sqrt(a)
          (%o3)            - ----------------------------
                                          a

     Uma expressão contendo uma forma substantiva, tais como as instâncias de 'integrate acima, pode ser avaliada por ev com o sinalizador nouns. Por exemplo, a expressão retornada por changevar acima pode ser avaliada por ev (%o3, nouns).

     changevar pode também ser usada para alteracedilhaões nos índices de uma soma ou de um produto.  Todavia, isso deve obrigatóriamente ser realizado de forma que quando uma alteracedilhaão é feita em uma soma ou produto, essa mudancedilhaa deve ser um artifício, i.e., i = j+ ..., não uma funcedilhaão de grau mais alto.  E.g.,

          (%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
                                   inf
                                   ====
                                   \         i - 2
          (%o4)                     >    a  x
                                   /      i
                                   ====
                                   i = 0
          (%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
                                  inf
                                  ====
                                  \               n
          (%o5)                    >      a      x
                                  /        n + 2
                                  ====
                                  n = - 2

 -- Funcedilhaão: dblint (F, R, S, A, B)
     Uma rotina de integral dupla que foi escrita no alto-nível do Maxima e então traduzida e compilada para linguagem de máquina. Use load (dblint) para acessar esse pacote.  Isso usa o método da regra de Simpson em ambas as direcedilhaões x e y para calcular

          /b /s(x)
          |  |
          |  |    f(x,y) dy dx
          |  |
          /a /r(x)

     A funcedilhaão F deve ser uma funcedilhaão traduzida ou compilada de duas variáveis, e R e S devem cada uma ser uma funcedilhaão traduzida ou compilada de uma variável, enquanto A e B devem ser números em ponto flutuante.  A rotina tem duas variáveis globais que determinam o número de divisões dos intervalos x e y: dblint_x e dblint_y, ambas as quais são inicialmente 10, e podem ser alteradas independentemente para outros valores inteiros (existem 2*dblint_x+1 pontos calculados na direcedilhaão x , e 2*dblint_y+1 na direcedilhaão y). A rotina subdivide o eixo X e então para cada valor de X isso primeiro calcula R(x) e S(x); então o eixo Y entre R(x) e S(x) é subdividido e a integral ao longo do eixo Y é executada usando a regra de Simpson; então a integral ao longo do eixo X é concluída usando a regra de Simpson com os valores da funcedilhaão sendo as integrais-Y.  Esse procedimento pode ser numericamente instável por uma grande variedade razões, mas razoávelmente rápido: evite usar isso sobre funcedilhaões altamente oscilatórias e funcedilhaões com singularidades (postes ou pontos de ramificacedilhaão na região).  As integrais Y dependem de quanto fragmentados R(x) e S(x) são, então se a ditância S(x) - R(x) varia rapidamente com X, nesse ponto pode ter erros substanciais provenientes de truncacedilhaão com diferentes saltos-tamanhos nas várias integrais Y.  Um pode incrementar dblint_x e dblint_y em uma tentativa para melhorar a convergência da reião, com sacrifício do tempo de computacedilhaão.  Os valores da funcedilhaão não são salvos, então se a funcedilhaão é muito desperdicedilhaadora de tempo,você terá de esperar por re-computacedilhaão se você mudar qualquer coisa (desculpe). Isso é requerido que as funcedilhaões F, R, e S sejam ainda traduzidas ou compiladas previamente chamando dblint.  Isso resultará em ordens de magnitude de melhoramentos de velocidade sobre o código interpretado em muitos casos!

     demo (dblint) executa uma demonstracedilhaão de dblint aplicado a um problema exemplo.

 -- Funcedilhaão: defint (EXPR, X, A, B)
     Tenta calcular uma integral definida. defint é chamada por integrate quando limites de integracedilhaão são especificados, i.e., quando integrate é chamado como integrate (EXPR, X, A, B). Dessa forma do ponto de vista do usuário, isso é suficiente para chamar integrate.

     defint retorna uma expressão simbólica, e executa um dos dois: ou calcula a integral ou a forma substantiva da integral. Veja quad_qag e funcedilhaões rellacionadas para aproximacedilhaão numérica de integrais definidas.

 -- Funcedilhaão: erf (X)
     Representa a funcedilhaão de erro, cuja derivada é: 2*exp(-x^2)/sqrt(%pi).

 -- Variável de opcedilhaão: erfflag
     Valor padrão: true

     Quando erfflag é false, previne risch da introducedilhaão da funcedilhaão erf na resposta se não houver nenhum no integrando para comecedilhaar.

 -- Funcedilhaão: ilt (EXPR, T, S)
     Calcula a transformacedilhaão inversa de Laplace de EXPR em relacedilhaão a T e parâmetro S.  EXPR deve ser uma razão de polinômios cujo denominador tem somente fatores lineares e quadráticos. Usando a funcedilhaões laplace e ilt juntas com as funcedilhaões solve ou linsolve o usuário pode resolver uma diferencial simples ou uma equacedilhaão integral de convolucedilhaão ou um conjunto delas.

          (%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
                        t
                       /
                       [                                    2
          (%o1)        I  f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
                       ]
                       /
                        0
          (%i2) laplace (%, t, s);
                                         a laplace(f(t), t, s)   2
          (%o2)  b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
                                                 2    2           3
                                                s  - a           s
          (%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
                                                  2      2
                                               2 s  - 2 a
          (%o3)     [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
                                              5         2     3
                                           b s  + (a - a  b) s
          (%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
          Is  a b (a b - 1)  positive, negative, or zero?

          pos;
                         sqrt(a b (a b - 1)) t
                  2 cosh(---------------------)       2
                                   b               a t
          (%o4) - ----------------------------- + -------
                        3  2      2               a b - 1
                       a  b  - 2 a  b + a

                                                                 2
                                                       + ------------------
                                                          3  2      2
                                                         a  b  - 2 a  b + a

 -- Funcedilhaão: integrate (EXPR, X)
 -- Funcedilhaão: integrate (EXPR, X, A, B)
     Tenta símbolicamente calcular a integral de EXPR em relacedilhaão a X. integrate (EXPR, X) é uma integral indefinida, enquanto integrate (EXPR, X, A, B) é uma integral definida, com limites de integracedilhaão A e B. Os limites não poderam conter X, embora integrate não imponha essa restricedilhaão. A não precisa ser menor que B. Se B é igual a A, integrate retorna zero.

     Veja quad_qag e funcedilhaões relacionadas para aproximacedilhaão numérica de integrais definidas. Veja residue para computacedilhaão de resíduos (integracedilhaão complexa). Veja antid para uma forma alternativa de calcular integrais indefinidas.

     A integral (uma expressão livre de integrate) é retornada se integrate obtém sucesso. De outra forma o valor de retorno é a forma substantiva da integral (o operador com apóstrofo 'integrate) ou uma expressão contendo uma ou mais formas substantivas. A forma substantiva de integrate é mostrada com um sinal de integral.

     Em algumas circunstâncias isso é útil para construir uma forma substantiva manualmente, colocando em integrate um apóstrofo, e.g., 'integrate (EXPR, X). Por exemplo, a integral pode depender de alguns parâmetos que não estão ainda calculados. A forma substantiva pode ser aplicada a seus argumentos por ev (I, nouns) onde I é a forma substantiva de interesse.

     integrate manuseia integrais definidas separadamente das indefinidas, e utiliza uma gama de heurísticas para manusear cada caso. Casos especiais de integrais definidas incluem limites de integracedilhaão iguais a zero ou infinito (inf ou minf), funcedilhaões trigonométricas com limites de integracedilhaão iguais a zero e %pi ou 2 %pi, funcedilhaões racionais, integrais relacionadas para as definicedilhaões de funcedilhaões beta e psi, e algumas integrais logarítmicas e trigonométricas. Processando funcedilhaões racionais pode incluir computacedilhaão de resíduo. Se um caso especial aplicável não é encontrado, tentativa será feita para calcular a integra indefinida e avaliar isso nos limites de integracedilhaão. Isso pode incluir pegar um limite como um limite de integracedilhaão tendendo ao infinito ou a menos infinito; veja também ldefint.

     Casos especiais de integrais indefinidas incluem funcedilhaões trigonométricas, exponenciais e funcedilhaões logarítmicas, e funcedilhaões racionais. integrate pode também fazer uso de uma curta tabela de integais elementares.

     integrate pode realizar uma mudancedilhaa de variável se o integrando tem a forma f(g(x)) * diff(g(x), x). integrate tenta achar uma subexpressão g(x) de forma que a derivada de g(x) divida o integrando. Essa busca pode fazer uso de derivadas definidas pela funcedilhaão gradef. Veja também changevar e antid.

     Se nenhum dos procedimentos heurísticos acha uma integral indefinida, o algorítmo de Risch é executado. O sinalizador risch pode ser escolhido como um evflag, na chamada para ev ou na linha de comando, e.g., ev (integrate (EXPR, X), risch) ou integrate (EXPR, X), risch. Se risch está presente, integrate chama a funcedilhaão risch sem tentar heurísticas primeiro.  Veja também risch.

     integrate trabalha somente com relacedilhaões funcionais representadas explicitamente com a notacedilhaão f(x). integrate não respeita dependências implicitas estabelecidas pela funcedilhaão depends. integrate pode necessitar conhecer alguma propriedade de um parâmetro no integrando. integrate irá primeiro consultar a base de dados do assume, e , se a variável de interesse não está lá, integrate perguntará ao usuário. Dependendo da pergunta, respostas adequadas são yes; ou no;, ou pos;, zero;, ou neg;.

     integrate não é, por padrão, declarada ser linear.  Veja declare e linear.

     integrate tenta integracedilhaão por partes somente em uns poucos casos especiais.

     Exemplos:

       * Integrais definidas e indefinidas elementares.

               (%i1) integrate (sin(x)^3, x);
                                          3
                                       cos (x)
               (%o1)                   ------- - cos(x)
                                          3
               (%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
                                                2    2
               (%o2)                    - sqrt(b  - x )
               (%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
                                              %pi
                                          3 %e      3
               (%o3)                      ------- - -
                                             5      5
               (%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
                                           sqrt(%pi)
               (%o4)                       ---------
                                               2

       * Uso de assume e dúvida interativa.

               (%i1) assume (a > 1)$
               (%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
                   2 a + 2
               Is  -------  an integer?
                      5

               no;
               Is  2 a - 3  positive, negative, or zero?

               neg;
                                                  3
               (%o2)                  beta(a + 1, - - a)
                                                  2

       * Mudancedilhaa de variável.  Existem duas mudancedilhaas de variável nesse exemplo: uma usando a derivada estabelecida por gradef, e uma usando a derivacedilhaão diff(r(x)) de uma funcedilhaão não especificada r(x).

               (%i3) gradef (q(x), sin(x**2));
               (%o3)                         q(x)
               (%i4) diff (log (q (r (x))), x);
                                     d               2
                                    (-- (r(x))) sin(r (x))
                                     dx
               (%o4)                ----------------------
                                           q(r(x))
               (%i5) integrate (%, x);
               (%o5)                     log(q(r(x)))

       * O valor de retorno contém a forma substantiva 'integrate. Nesse exemplo, Maxima pode extrair um fator do denominador de uma funcedilhaão racional, mas não pode fatorar o restante ou de outra forma achar sua integral. grind mostra a forma substantiva 'integrate no resultado. Veja também integrate_use_rootsof para mais sobre integrais de funcedilhaões racionais.

               (%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
                                   4      3      2
               (%o1)              x  - 4 x  + 2 x  - 7 x - 4
               (%i2) integrate (1/%, x);
                                             /  2
                                             [ x  + 4 x + 18
                                             I ------------- dx
                                             ]  3
                                log(x - 4)   / x  + 2 x + 1
               (%o2)            ---------- - ------------------
                                    73               73
               (%i3) grind (%);
               log(x-4)/73-('integrate((x^2+4*x+18)/(x^3+2*x+1),x))/73$

       * Definindo uma funcedilhaão em termos de uma integral. O corpo de uma funcedilhaão não é avaliado quando a funcedilhaão é definida. Dessa forma o corpo de f_1 nesse exemplo contém a forma substantiva de integrate. O operador apóstrofo-apóstrofo '' faz com que a integral seja avaliada, e o resultado transforme-se no corpo de f_2.

               (%i1) f_1 (a) := integrate (x^3, x, 1, a);
                                                    3
               (%o1)           f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
               (%i2) ev (f_1 (7), nouns);
               (%o2)                          600
               (%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
                     f_2 (a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
                                                  4
                                                 a    1
               (%o3)                   f_2(a) := -- - -
                                                 4    4
               (%i4) f_2 (7);
               (%o4)                          600

 -- Variável de sistema: integration_constant_counter
     Valor padrão: 0

     integracedilhaão_constant_counter é um contador que é atualizado a cada vez que uma constante de integracedilhaão (nomeada pelo Maxima, e.g., integrationconstant1) é introduzida em uma expressão pela integracedilhaão indefinida de uma equacedilhaão.

 -- Variável de opcedilhaão: integrate_use_rootsof
     Valor padrão: false

     Quando integrate_use_rootsof é true e o denominador de uma funcedilhaão racional não pode ser fatorado, integrate retorna a integral em uma forma que é uma soma sobre as raízes (não conhecidas ainda) do denominador.

     Por exemplo, com integrate_use_rootsof escolhido para false, integrate retorna uma integral não resolvida de uma funcedilhaão racional na forma substantiva:

          (%i1) integrate_use_rootsof: false$
          (%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
                  /  2
                  [ x  - 4 x + 5
                  I ------------ dx                            2 x + 1
                  ]  3    2                2            5 atan(-------)
                  / x  - x  + 1       log(x  + x + 1)          sqrt(3)
          (%o2)   ----------------- - --------------- + ---------------
                          7                 14             7 sqrt(3)

     Agora vamos escolher o sinalizador para ser true e a parte não resolvida da integral será expressa como um somatório sobre as raízes do denominador da funcedilhaão racional:

          (%i3) integrate_use_rootsof: true$
          (%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
                ====        2
                \       (%r4  - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
                 >      -------------------------------
                /                    2
                ====            3 %r4  - 2 %r4
                                3    2
                %r4 in rootsof(x  - x  + 1)
          (%o4) ----------------------------------------------------------
                         7

                                                                       2 x + 1
                                                   2            5 atan(-------)
                                              log(x  + x + 1)          sqrt(3)
                                            - --------------- + ---------------
                                                    14             7 sqrt(3)

     Alternativamente o usuário pode calcular as raízes do denominador separadamente, e então expressar o integrando em termos dessas raízes, e.g., 1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) ou 1/((x^2 - (a+b)*x + a*b)*(x - c)) se o denominador for um polinômio cúbico. Algumas vezes isso ajudará Maxima a obter resultados mais úteis.

 -- Funcedilhaão: ldefint (EXPR, X, A, B)
     Tenta calcular a integral definida de EXPR pelo uso de limit para avaliar a integral indefinida EXPR em relacedilhaão a X no limite superior B e no limite inferior A. Se isso falha para calcular a integral definida, ldefint retorna uma expressão contendo limites como formas substantivas.

     ldefint não é chamada por integrate, então executando ldefint (EXPR, X, A, B) pode retornar um resultado diferente de integrate (EXPR, X, A, B). ldefint sempre usa o mesmo método para avaliar a integral definida, enquanto integrate pode utilizar várias heurísticas e pode reconhecer alguns casos especiais.

 -- Funcedilhaão: potential (GIVENGRADIENT)
     O cálculo faz uso da variável global potentialzeroloc[0] que deve ser nonlist ou da forma

          [indeterminatej=expressãoj, indeterminatek=expressãok, ...]

     O formador sendo equivalente para a expressão nonlist para todos os lados direitos-manuseados mais tarde.  Os lados direitos indicados são usados como o limite inferior de integracedilhaão.  O sucesso das integracedilhaões pode depender de seus valores e de sua ordem.  potentialzeroloc é inicialmente escolhido para 0.

 -- Funcedilhaão: residue (EXPR, Z, Z_0)
     Calcula o resíduo no plano complexo da expressão EXPR quando a variável Z assumes o valor Z_0.  O resíduo é o coeficiente de (Z - Z_0)^(-1) nas séries de Laurent para EXPR.

          (%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
                                          1
          (%o1)                           -
                                          2
          (%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
                                           3
                                          a
          (%o2)                         - --
                                          6

 -- Funcedilhaão: risch (EXPR, X)
     Integra EXPR em relacedilhaão a X usando um caso transcendental do algorítmo de Risch.  (O caso algébrico do algorítmo de Risch foi implementado.)  Isso atualmente manuseia os casos de exponenciais aninhadas e logarítmos que a parte principal de integrate não pode fazer.  integrate irá aplicar automaticamente risch se dados esses casos.

     erfflag, se false, previne risch da introducedilhaão da funcedilhaão erf na resposta se não for achado nenhum no integrando para comecedilhaar.

          (%i1) risch (x^2*erf(x), x);
                                                                  2
                       3                      2                - x
                  %pi x  erf(x) + (sqrt(%pi) x  + sqrt(%pi)) %e
          (%o1)   -------------------------------------------------
                                        3 %pi
          (%i2) diff(%, x), ratsimp;
                                       2
          (%o2)                       x  erf(x)

 -- Funcedilhaão: tldefint (EXPR, X, A, B)
     Equivalente a ldefint com tlimswitch escolhido para true.

Introducedilhaão a QUADPACK
===========================

QUADPACK é uma colecedilhaão de funcedilhaões para aálculo numérico de integrais definidas unidimensionais. O pacote QUADPACK resultou da juncedilhaão de um projeto de R. Piessens  (Applied Mathematics and Programming Division, K.U. Leuven), E. de Doncker  (Applied Mathematics and Programming Division, K.U. Leuven), C. Ueberhuber  (Institut für Mathematik, T.U. Wien), e D. Kahaner  (National Bureau of Standards, Washington, D.C., U.S.A).

A biblioteca QUADPACK inclída no Maxima é uma traducedilhaão automática (feita através do programa f2cl) do código fonte em de QUADPACK como aparece na SLATEC Common Mathematical Library, Versão 4.1  (http://www.netlib.org/slatec). A biblioteca Fortran SLATEC é datada de Julho de 1993, mas as funcedilhaões QUADPACK foram escritas alguns anos antes. Existe outra versão de QUADPACK em Netlib  (http://www.netlib.org/quadpack); não está claro no que aquela versão difere da versão existente em SLATEC.

As funcedilhaões QUADPACK incluídas no Maxima são toda automáticas, no sentido de que essas funcedilhaões tentam calcular um resultado para uma precisão específica, requerendo um número não especificado de avaliacedilhaões de funcedilhaão. A traducedilhaão do Lisp do Maxima da iblioteca QUADPACK também inclui algumas funcedilhaẽs não automáticas, mas elas não são expostas a nível de Maxima.

Informacedilhaão adicionalsobre a bilioteca QUADPACK pode ser encontrada no livro do QUADPACK (R. Piessens, E. de Doncker-Kapenga, C.W. Uberhuber, e D.K. Kahaner. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration. Berlin: Springer-Verlag, 1983, ISBN 0387125531.).

Overview
--------

quad_qag
     Integracedilhaão de uma funcedilhaão genérica sobre um intervalo finito. quad_qag implementa um integrador adaptativo globalmente simples usando a estratégia de Aind (Piessens, 1973). O chamador pode escolher entre 6 pares de formulas da quadratura de Gauss-Kronrod para a componente de avaliacedilhaão da regra. As regras de alto grau são adequadas para integrandos fortemente oscilantes.

quad_qags
     Integracedilhaão de uma funcedilhaão genérica sob um intervalo finito. quad_qags implementa subdivisão de intervalos globalmente adaptativos com extrapolacedilhaão (de Doncker, 1978) por meio do algorítmo de Epsilon (Wynn, 1956).

quad_qagi
     Integracedilhaão de uma funcedilhaão genérica  sobre um intervalo finito ou semi-finito. O intervalo é mapeado sobre um intervalo finito e então a mesma estratégia de quad_qags é aplicada.

quad_qawo
     Integracedilhaão de cos(omega x) f(x) ou sin(omega x) f(x) sobre um intervalo finito, onde omega é uma constante. A componente de avaliacedilhaão da regra é baseada na técnica modificada de Clenshaw-Curtis. quad_qawo aplica subdivisão adaptativa com extrapolacedilhaão, similar a quad_qags.

quad_qawf
     Calcula uma transformacedilhaão de cosseno de Fourier ou de um seno de Fourier sobre um intervalo semi-finito. O mesmo aproxima como quad_qawo aplicado sobre intervalos finitos sucessivos, e aceleracedilhaão de convergência por meio d algorítimo de Epsilon (Wynn, 1956) aplicado a séries de contribuicedilhaões de integrais.

quad_qaws
     Integracedilhaào de w(x) f(x) sobre um intervalo finito [a, b], onde w é uma funcedilhaão da forma (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) e v(x) é 1 ou log(x - a) ou log(b - x) ou log(x - a) log(b - x), e alpha > -1 e beta > -1. Auma estratégia de subdivisão adaptativa é aplicada, com integracedilhaão modificada de Clenshaw-Curtis sobre os subintervalos que possuem a ou b.

quad_qawc
     Calcula o valor principal de Cauchy de f(x)/(x - c) sobre um intervalo finito (a, b) e um c especificado. A estratégia é globalmente adaptativa, e a integracedilhaão modificada de Clenshaw-Curtis é usada sobre subamplitudes que possuírem o ponto x = c.

Funcedilhaões e Variáveis Definidas para QUADPACK
=================================================

 -- Funcedilhaão: quad_qag (F(X), X, A, B, CHAVE, EPSREL, LIMITE)
 -- Funcedilhaão: quad_qag (F, X, A, B, CHAVE, EPSREL, LIMITE)

     Integracedilhaão de uma funcedilhaão genérica sobre um intervalo finito. quad_qag implementa um integrador adaptativo globalmente simples usando a estratégia de Aind (Piessens, 1973). O chamador pode escolher entre 6 pares de fórmulas da quadratura de Gauss-Kronrod para a componente de avaliacedilhaão da regra. As regras de alto nível são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

     quad_qag calcula a integral

     integrate (f(x), x, a, b)

     A funcedilhaão a ser integrada é F(X), com variável dependente X, e a funcedilhaão é para ser integrada entre os limites A e B.  CHAVE é o integrador a ser usado e pode ser um inteiro entre 1 e 6, inclusive.  O valor de CHAVE seleciona a ordem da regra de integracedilhaão de Gauss-Kronrod. Regra de alta ordem são adequadas para integrandos fortemente oscilatórios.

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     A integracedilhaão numérica é concluída adaptativamente pela subdivisão a região de integracedilhaão até que a precisão desejada for completada.

     Os argumentos opcionais EPSREL e LIMITE são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos respectivamente. EPSREL padrão em 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qag retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          se nenhum problema for encontrado;

     1
          se muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          se erro excessivo é detectado;

     3
          se ocorre comportamento extremamente ruim do integrando;

     6
          se a entrada é inválida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3);
          (%o1)    [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
          (%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1);
                                          4
          (%o2)                           -
                                          9

 -- Funcedilhaão: quad_qags (F(X), X, A, B, EPSREL, LIMITE)
 -- Funcedilhaão: quad_qags (F, X, A, B, EPSREL, LIMITE)

     Integracedilhaão de uma funcedilhaão geral sobre um intervalo finito. quad_qags implementa subdivisão de intervalo globalmente adaptativa com extrapolacedilhaão (de Doncker, 1978) através do algorítmo de (Wynn, 1956).

     quad_qags computes the integral

     integrate (f(x), x, a, b)

     A funcedilhaão a ser integrada é F(X), com variável dependente X, e a funcedilhaão é para ser integrada entre os limites A e B.

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     Os argumentos opcionais EPSREL e LIMITE são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. EPSREL padrão em 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qags retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

     4
          falhou para convergência

     5
          integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente

     6
          se a entrada é inválida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0 ,1);
          (%o1)   [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]

     Note que quad_qags é mais preciso e eficiente que quad_qag para esse integrando.

 -- Funcedilhaão: quad_qagi (F(X), X, A, INFTYPE, EPSREL, LIMITE)
 -- Funcedilhaão: quad_qagi (F, X, A, INFTYPE, EPSREL, LIMITE)

     Integracedilhaão de uma funcedilhaão genérica sobre um intervalo finito ou semi-finito. O intervalo é mapeado sobre um intervalo finito e então a mesma estratégia que em quad_qags é aplicada.

     quad_qagi avalia uma das seguintes integrais

     integrate (f(x), x, minf, inf)

     integrate (f(x), x, minf, a)

     integrate (f(x), x, a, minf, inf)

     usando a rotina Quadpack QAGI.  A funcedilhaão a ser integrada é F(X), com variável dependente X, e a funcedilhaão é para ser integrada sobre um intervalo infinito.

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     O parâmetro INFTYPE determina o intervalo de integracedilhaão como segue:

     inf
          O intervalo vai de A ao infinito positivo.

     minf
          O intervalo vai do infinito negativo até A.

     both
          O intervalo corresponde a toda reta real.

     Os argumentos opcionais EPSREL e LIMITE são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. EPSREL padrão para 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qagi retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

     4
          falhou para convergência;

     5
          integral é provavelmente divergente ou lentamente convergente;

     6
          se a entrada for inválida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
          (%o1)        [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
          (%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
                                         1
          (%o2)                          --
                                         32

 -- Funcedilhaão: quad_qawc (F(X), X, C, A, B, EPSREL, LIMITE)
 -- Funcedilhaão: quad_qawc (F, X, C, A, B, EPSREL, LIMITE)

     Calcula o valor principal de Cauchy de f(x)/(x - c) over a finite interval. A estratégia é globalmente adaptativa, e a integracedilhaão de Clenshaw-Curtis modificada é usada sobre as subamplitudes que possuírem o ponto x = c.

     quad_qawc calcula o valor principal de Cauchy de

     integrate (f(x)/(x - c), x, a, b)

     usando a rotina Quadpack QAWC.  A funcedilhaão a ser integrada é F(X)/(X - C), com variável dependente X, e a funcedilhaão é para ser integrada sobre o intervalo que vai de A até B.

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     Os argumentos opcionais EPSREL e LIMITE são o erro relativo desejado e o máximo número de subintervalos, respectivamente. EPSREL padrão para 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qawc retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valoor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          ocorreu comportamento excessivamente ruim do integrando;

     6
          se a entrada é inválida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5);
          (%o1)    [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
          (%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1), x, 0, 5);
          Principal Value
                                 alpha
                  alpha       9 4                 9
                 4      log(------------- + -------------)
                                alpha           alpha
                            64 4      + 4   64 4      + 4
          (%o2) (-----------------------------------------
                                  alpha
                               2 4      + 2

                   3 alpha                       3 alpha
                   -------                       -------
                      2            alpha/2          2          alpha/2
                2 4        atan(4 4       )   2 4        atan(4       )   alpha
              - --------------------------- - -------------------------)/2
                          alpha                        alpha
                       2 4      + 2                 2 4      + 2
          (%i3) ev (%, alpha=5, numer);
          (%o3)                    - 3.130120337415917

 -- Funcedilhaão: quad_qawf (F(X), X, A, OMEGA, TRIG, EPSABS, LIMIT, MAXP1, LIMLST)
 -- Funcedilhaão: quad_qawf (F, X, A, OMEGA, TRIG, EPSABS, LIMIT, MAXP1, LIMLST)

     Calcula uma transformacedilhaão de cosseno de Fourier ou de um seno de Fourier sobre um intervalo semi-finito. usando a funcedilhaão QAWF do pacote Quadpack. A mesma aproxima como em quad_qawo quando aplicada sobre intervalos finitos sucessivos, e aceleracedilhaão de convergência por meio d algorítimo de Epsilon (Wynn, 1956) aplicado a séries de contribuicedilhaões de integrais.

     quad_qawf calcula a integral

     integrate (f(x)*w(x), x, a, inf)

     A funcedilhaão peso w é selecionada por TRIG:

     cos
          w(x) = cos (omega x)

     sin
          w(x) = sin (omega x)

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     Os argumentos opcionais são:

     epsabs
          Erro absoluto de aproximacedilhaão desejado.  Padrão é 1d-10.

     limit
          Tamanho de array interno de trabalho.  (LIMIT - LIMLST)/2 é o maximo número de subintervalos para usar.  O Padrão é 200.

     maxp1
          O número máximo dos momentos de Chebyshev.  Deve ser maior que 0.  O padrão é 100.

     limlst
          Limite superior sobre número de ciclos.  Deve ser maior ou igual a 3.  O padrão é 10.

     EPSABS e LIMIT são o erro relativo desejado e o número maximo de subintervalos, respectivamente. EPSREL padrão para 1e-8 e LIMIT é 200.

     quad_qawf retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;

     6
          se a entrada é invalida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos);
          (%o1)   [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
          (%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf);
                                    - 1/4
                                  %e      sqrt(%pi)
          (%o2)                   -----------------
                                          2
          (%i3) ev (%, numer);
          (%o3)                   .6901942235215714

 -- Funcedilhaão: quad_qawo (F(X), X, A, B, OMEGA, TRIG, EPSABS, LIMITE, MAXP1, LIMLST)
 -- Funcedilhaão: quad_qawo (F, X, A, B, OMEGA, TRIG, EPSABS, LIMITE, MAXP1, LIMLST)

     Integracedilhaão de cos(omega x) f(x) ou sin(omega x) f(x) sobre um intervalo finito, onde omega é uma constante. A componente de avaliacedilhaão da regra é baseada na técnica modificada de Clenshaw-Curtis. quad_qawo aplica subdivisão adaptativa com extrapolacedilhaão, similar a quad_qags.

     quad_qawo calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWO:

     integrate (f(x)*w(x), x, a, b)

     A funcedilhaão peso w é selecionada por TRIG:

     cos
          w(x) = cos (omega x)

     sin
          w(x) = sin (omega x)

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     Os argumentos opcionais são:

     epsabs
          Erro absoluto desejado de aproximacedilhaão.  O Padrão é 1d-10.

     limite
          Tamanho do array interno de trabalho.  (LIMITE - LIMLST)/2 é o número máximo de subintervalos a serem usados.  Default é 200.

     maxp1
          Número máximo dos momentos de Chebyshev.  Deve ser maior que 0.  O padrão é 100.

     limlst
          Limite superior sobre o número de ciclos.  Deve ser maior que ou igual a 3.  O padrão é 10.

     EPSABS e LIMITE são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. EPSREL o padrão é 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qawo retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          comportamento extremamente ruim do integrando;

     6
          se a entrada é inválida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos);
          (%o1)     [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
          (%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x), x, 0, inf));
                             alpha/2 - 1/2            2 alpha
                  sqrt(%pi) 2              sqrt(sqrt(2        + 1) + 1)
          (%o2)   -----------------------------------------------------
                                         2 alpha
                                   sqrt(2        + 1)
          (%i3) ev (%, alpha=2, numer);
          (%o3)                     1.376043390090716

 -- Funcedilhaão: quad_qaws (F(X), X, A, B, ALPHA, BETA, WFUN, EPSABS, LIMITE)
 -- Funcedilhaão: quad_qaws (F, X, A, B, ALPHA, BETA, WFUN, EPSABS, LIMITE)

     Integracedilhaão de w(x) f(x) sobre um intervalo finito, onde w(x) é uma certa funcedilhaão algébrica ou logarítmica. Uma estratégia de subdivisão globalmente adaptativa é aplicada, com integracedilhaão modificada de Clenshaw-Curtis sobre os subintervalos que possuírem os pontos finais dos intervalos de integracedilhaão.

     quad_qaws calcula a integral usando a rotina Quadpack QAWS:

     integrate (f(x)*w(x), x, a, b)

     A funcedilhaão peso w é selecionada por WFUN:

     1
          w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta

     2
          w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)

     3
          w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)

     4
          w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)

     O integrando pode ser especidficado como o nome de uma funcedilhaão Maxima ou uma funcedilhaão Lisp ou um operador, uma expressão lambda do Maxima, ou uma expressão geral do Maxima.

     O argumentos opcionais são:

     epsabs
          Erro absoluto desejado de aproximacedilhaão.  O padrão é 1d-10.

     limite
          Tamanho do array interno de trabalho.  (LIMITE - LIMLST)/2 é o número máximo de subintervalos para usar.  O padrão é 200.

     EPSABS e LIMIT são o erro relativo desejado e o número máximo de subintervalos, respectivamente. EPSREL o padrão é 1e-8 e LIMITE é 200.

     quad_qaws retorna uma lista de quatro elementos:

       * uma aproximacedilhaão para a integral,

       * o erro absoluto estimado da aproximacedilhaão,

       * o número de avaliacedilhaões do integrando,

       * um código de erro.

     O código de erro (quarto elemento do valor de retorno) pode ter os valores:

     0
          nenhum problema foi encontrado;

     1
          muitos subintervalos foram concluídos;

     2
          erro excessivo é detectado;

     3
          ocorreu um comportamento excessivamente ruim do integrando;

     6
          se a entrada é invalida.

     Exemplos:

          (%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1);
          (%o1)     [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
          (%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1);
                 alpha
          Is  4 2      - 1  positive, negative, or zero?

          pos;
                                    alpha         alpha
                             2 %pi 2      sqrt(2 2      + 1)
          (%o2)              -------------------------------
                                         alpha
                                      4 2      + 2
          (%i3) ev (%, alpha=4, numer);
          (%o3)                     8.750097361672829